Пример №6. Шарнирно-опертая балка

Построение эпюр M,Q,N

Определение опорных реакций

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣFx = 0:    HA = 0
ΣMA = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
- (U1справа *1.5/2) * (1.5 - (1/3)*1.5) + (U2слева *1.5/2) * (3 - (2/3)*1.5) + RB*3 = 0
ΣMB = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
- RA*3 + (U1справа *1.5/2) * (3 - 1.5 + (1/3)*1.5) - (U2слева *1.5/2) * (3 - 3 + (2/3)*1.5) = 0
2. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные :
HA = 0 (кН)
3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B
RB = ( (U1справа *1.5/2) * (1.5 - (1/3)*1.5) - (U2слева *1.5/2) * (3 - (2/3)*1.5)) / 3 = ( 37.5 * 1 - 37.5 * 2) / 3 = -12.50 (кН)
4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A
RA = ( (U1справа *1.5/2) * (3 - 1.5 + (1/3)*1.5) - (U2слева *1.5/2) * (3 - 3 + (2/3)*1.5)) / 3 = ( 37.5 * 2 - 37.5 * 1) / 3 = 12.50 (кН)
5. Выполним проверку ΣFy = 0:    RA - (U1справа *1.5)/2 + (U2слева *1.5)/2 - RB = 12.50 - (50*1.5)/2 + (50*1.5)/2 - 12.50 = 0

Построение эпюр

Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 1.5
Поперечная сила Q:
Q(x1) = + RA - (U1справа *(x - 0)/1.5*(x - 0))/2
Значения Q на краях участка:
Q1(0) = + 12.50 - (50*(0 - 0)/1.5*(0 - 0))/2 = 12.50 (кН)
Q1(1.50) = + 12.50 - (50*(1.5 - 0)/1.5*(1.50 - 0))/2 = -25 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0.87
Изгибающий момент M:
M(x1) = + RA*(x1) + (U1справа *(x - 0)/1.5*(x - 0))/2*(x - 0)*(1/3)
Значения M на краях участка:
M1(0) = + 12.50*(0) - (50*(0 - 0)/1.5*(0 - 0))/2*(0 - 0)*(1/3) = 0 (кН*м)
M1(1.50) = + 12.50*(1.50) + (50*(1.5 - 0)/1.5*(1.50 - 0))/2*(1.50 - 0)*(1/3) = 0 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 0.87:
M1(0.87) = + 12.50*(0.87) - (50*(0.87- 0)/1.5*(0.87 - 0))/2*(0.87 - 0)*(1/3) = 7.22 (кН*м)
Рассмотрим 2-й участок 1.5 ≤ x2 < 3
Поперечная сила Q:
Q(x2) = + RA - (U1справа *1.5)/2 + ([(U2слева - U2слева *(3 - x)/1.5)*(x - 1.5)]/2 + U2слева *(3 - x)/1.5*(x - 1.5))
Значения Q на краях участка:
Q2(1.50) = + 12.50 - (50*(1.5 - 0)/1.5*(1.50 - 0))/2 + ([(50 - 50*(3 - 1.5)/1.5)*(1.5 - 1.5)]/2 + 50*(3 - 1.5)/1.5*(1.5 - 1.5)) = -25 (кН)
Q2(3) = + 12.50 - (50*1.5)/2 + ([(50 - 50*(3 - 3)/1.5)*(3 - 1.5)]/2 + 50*(3 - 3)/1.5*(3 - 1.5)) = 12.50 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0.63
Изгибающий момент M:
M(x2) = + RA*(x2) + (U1справа *1.5)/2*(x - 1.5 + (1/3)*1.5) - ([(U2слева - U2слева *(3 - x)/1.5)*(x - 1.5)]/2*(x - 1.5)*(2/3) + U2слева *(3 - x)/1.5*(x - 1.5)*(x - 1.5)*(1/2))
Значения M на краях участка:
M2(1.50) = + 12.50*(1.50) + (50*(1.5 - 0)/1.5*(1.50 - 0))/2*(1.50 - 0)*(1/3) + ([(50 - 50*(3 - 1.5)/1.5)*(1.5 - 1.5)]/2*(1.50 - 1.5)*(2/3) + 50*(3 - 1.5)/1.5*(1.5 - 1.5)*(1.50 - 1.5)*(1/2)) = 0 (кН*м)
M2(3) = + 12.50*(3) + (50*1.5)/2*(3 - 1.5 + (1/3)*1.5) - ([(50 - 50*(3 - 3)/1.5)*(3 - 1.5)]/2*(3 - 1.5)*(2/3) + 50*(3 - 3)/1.5*(3 - 1.5)*(3 - 1.5)*(1/2)) = 0 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 0.63:
M2(2.13) = + 12.50*(2.13) + (50*1.5)/2*(2.13 - 1.5 + (1/3)*1.5) - ([(50 - 50*(3 - 2.13)/1.5)*(2.13 - 1.5)]/2*(2.13 - 1.5)*(2/3) + 50*(3 - 2.13)/1.5*(2.13 - 1.5)*(2.13 - 1.5)*(1/2)) = -7.22 (кН*м)


Расчет произведен при помощи онлайн-сервиса SOPROMATGURU.RU