Пример №5. Шарнирно-опертая балка

Построение эпюр M,Q,N

Определение опорных реакций

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣFx = 0:    HA = 0
ΣMA = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
- P1*0.5 - q1*2*(-0.5 + 2/2) - M1 - ((U1справа - U1слева )*1)/2*(3.5 - 0.50 - (1/3)*1) - U1слева *1*(3.5 - 0.50 - (1/2)*1) + RB*3.5 = 0
ΣMB = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
- P1*4 + q1*2*(4 - 2/2) - RA*3.5 - M1 - ((U1справа - U1слева )*1)/2*(4 - (2.5 + 2/3*1)) - U1слева *1*(4 - (2.5 + (1/2)*1)) = 0
2. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные :
HA = 0 (кН)
3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B
RB = ( P1*0.5 + q1*2*(-0.5 + 2/2) + M1 + ((U1справа - U1слева )*1)/2*(3.5 - 0.50 - (1/3)*1) + U1слева *1*(3.5 - 0.50 - (1/2)*1)) / 3.5 = ( 1*0.5 + 100*2*(-0.5 + 2/2) + 3.5 + 75*2.67 + 100*2.50) / 3.5 = 158.29 (кН)
4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A
RA = ( - P1*4 + q1*2*(4 - 2/2) - M1 + ((U1справа - U1слева )*1)/2*(4 - (2.5 + 2/3*1)) + U1слева *1*(4 - (2.5 + (1/2)*1))) / 3.5 = ( - 1*4 + 100*2*(4 - 2/2) - 3.5 + 75*0.83 + 100*1) / 3.5 = 215.71 (кН)
5. Выполним проверку ΣFy = 0:    P1 - q1*2 + RA - ((U1справа - U1слева )*1)/2 - U1слева *1 + RB = 1 - 100*2 + 215.71 - ((250 - 100)*1)/2 - 100*1 + 158.29 = 0

Построение эпюр

Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 0.5
Поперечная сила Q:
Q(x1) = P1 - q1*(x1 - 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0) = 1 - 100*(0 - 0) = 1 (кН)
Q1(0.50) = 1 - 100*(0.5 - 0) = -49 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0.01
Изгибающий момент M:
M(x1) = P1*(x1) - q1*(x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0) = 1*(0) - 100*(0 - 0)2/2 = 0 (кН*м)
M1(0.50) = 1*(0.50) - 100*(0.50 - 0)2/2 = -12 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 0.01:
M1(0.01) = 1*(0.01) - 100*(0.01 - 0)2/2 = 0.01 (кН*м)
Рассмотрим 2-й участок 0.5 ≤ x2 < 2
Поперечная сила Q:
Q(x2) = P1 - q1*(x2 - 0) + RA
Значения Q на краях участка:
Q2(0.50) = 1 - 100*(0.5 - 0) + 215.71 = 166.71 (кН)
Q2(2) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 = 16.71 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2) = P1*(x2) - q1*(x2)2/2 + RA*(x2 - 0.5)
Значения M на краях участка:
M2(0.50) = 1*(0.50) - 100*(0.50 - 0)2/2 + 215.71*(0.50 - 0.5) = -12 (кН*м)
M2(2) = 1*(2) - 100*(2 - 0)2/2 + 215.71*(2 - 0.5) = 125.57 (кН*м)
Рассмотрим 3-й участок 2 ≤ x3 < 2.5
Поперечная сила Q:
Q(x3) = P1 - q1*(2 - 0) + RA
Значения Q на краях участка:
Q3(2) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 = 16.71 (кН)
Q3(2.50) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 = 16.71 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3) = P1*(x3) - q1*(2 - 0)*[(x3 - 2) + (2 - 0)/2] + RA*(x3 - 0.5) + M1
Значения M на краях участка:
M3(2) = 1*(2) - 100*2*(0 + 1) + 215.71*(2 - 0.5) + 3.50 = 129.07 (кН*м)
M3(2.50) = 1*(2.50) - 100*2*(0.50 + 1) + 215.71*(2.50 - 0.5) + 3.50 = 137.43 (кН*м)
Рассмотрим 4-й участок 2.5 ≤ x4 < 3.5
Поперечная сила Q:
Q(x4) = P1 - q1*(2 - 0) + RA - ([((U1справа - U1слева )*(x - 2.5)/1 + U1слева - U1слева )*(x - 2.5)]/2 + U1слева *(x - 2.5))
Значения Q на краях участка:
Q4(2.50) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 - ([((250 - 100)*(2.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(2.50 - 2.5)]/2 + 100*(2.50 - 2.5)) = 16.71 (кН)
Q4(3.50) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 - ([((250 - 100)*(3.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(3.50 - 2.5)]/2 + 100*(3.50 - 2.5)) = -158.29 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0.15
Изгибающий момент M:
M(x4) = P1*(x4) - q1*(2 - 0)*[(x4 - 2) + (2 - 0)/2] + RA*(x4 - 0.5) + M1 - ([((U1справа - U1слева )*(x - 2.5)/1 + U1слева - U1слева )*(x - 2.5)]/2*(x - 2.5)*(2/3) + U1слева *(x - 2.5)*(x - 2.5)*(1/2))
Значения M на краях участка:
M4(2.50) = 1*(2.50) - 100*2*(0.50 + 1) + 215.71*(2.50 - 0.5) + 3.50 - ([((250 - 100)*(2.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(2.50 - 2.5)]/2*(2.50 - 2.5)*(1/3) + 100*(2.50 - 2.5)*(2.50 - 2.5)*(1/2)) = 137.43 (кН*м)
M4(3.50) = 1*(3.50) - 100*2*(1.50 + 1) + 215.71*(3.50 - 0.5) + 3.50 - ([((250 - 100)*(3.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(3.50 - 2.5)]/2*(3.50 - 2.5)*(1/3) + 100*(3.50 - 2.5)*(3.50 - 2.5)*(1/2)) = 79.14 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 0.15:
M4(2.65) = 1*(2.65) - 100*2*(0.65 + 1) + 215.71*(2.65 - 0.5) + 3.50 - ([((250 - 100)*(2.65 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(2.65 - 2.5)]/2*(2.65 - 2.5)*(1/3) + 100*(2.65 - 2.5)*(2.65 - 2.5)*(1/2)) = 138.73 (кН*м)
Рассмотрим 5-й участок 3.5 ≤ x5 < 4
Поперечная сила Q:
Q(x5) = P1 - q1*(2 - 0) + RA - ((250 - 100)*1/2 + (U1слева *1))
Значения Q на краях участка:
Q5(3.50) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 - ([((250 - 100)*(3.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(3.50 - 2.5)]/2 + 100*(3.50 - 2.5)) = -158.29 (кН)
Q5(4) = 1 - 100*(2 - 0) + 215.71 - ( + (100*1)) = -158.29 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x5) = P1*(x5) - q1*(2 - 0)*[(x5 - 2) + (2 - 0)/2] + RA*(x5 - 0.5) + M1 - ((250 - 100)*1/2*[x - (2.5 + 1*2/3)] + (U1слева *1)*[x - (2.5 + 1*(1/2))])
Значения M на краях участка:
M5(3.50) = 1*(3.50) - 100*2*(1.50 + 1) + 215.71*(3.50 - 0.5) + 3.50 - ([((250 - 100)*(3.50 - 2.5)/1 + 100 - 100)*(3.50 - 2.5)]/2*(3.50 - 2.5)*(1/3) + 100*(3.50 - 2.5)*(3.50 - 2.5)*(1/2)) = 79.14 (кН*м)
M5(4) = 1*(4) - 100*2*(2 + 1) + 215.71*(4 - 0.5) + 3.50 - (*[4 - (2.5 + 1*2/3)] + (100*1)*[4 - (2.5 + 1*(1/2))]) = 0 (кН*м)


Расчет произведен при помощи онлайн-сервиса SOPROMATGURU.RU