Пример №4. Консольная балка (жесткая заделка справа)

Построение эпюр M,Q,N

Определение опорных реакций

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
2. На балку наложена связь в точке A (справа) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (HA, RA, MA).
3. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMA = 0.
ΣFx = 0:    HA = 0
ΣFy = 0:    - (U1слева *4)/2 + P1 + RA = 0;
ΣMA = 0:    M1 + (U1слева *4/2) * (9 - 7 + (2/3)*4) - 4*P1 + MA = 0;
4. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные :
HA = 0 (кН)
RA = (U1слева *4)/2 - P1 = (20*4)/2 - 40 = 0.00 (кН)
MA = - M1 - (U1слева *4/2) * (9 - 7 + (2/3)*4) + 4*P1 = - 30 - (U1слева *4/2) * (9 - 7 + (2/3)*4) + 4*40 = -56.67 (кН*м), так как момент отрицателен, на расчетной схеме направим его в противоположную сторону.
5. Сделаем проверку, составив дополнительное моментное уравнение отоносительно свободного конца балки:
M1 - (U1слева *4/2) * (7 - (2/3)*4) + 5*P1 + 9*RA - MA = 30.00 - (U1слева *4/2) * (7 - (2/3)*4) + 5*40 + 9*0.00 - 56.67 = 0

Построение эпюр

Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 3
Поперечная сила Q:
Q(x1) = 0
Значения Q на краях участка:
Q1(0) = 0 (кН)
Q1(3) = 0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x1) = - M1
Значения M на краях участка:
M1(0) = - 30 = -30 (кН*м)
M1(3) = - 30 = -30 (кН*м)
Рассмотрим 2-й участок 3 ≤ x2 < 5
Поперечная сила Q:
Q(x2) = - ([(U1слева - U1слева *(7 - x)/4)*(x - 3)]/2 + U1слева *(7 - x)/4*(x - 3))
Значения Q на краях участка:
Q2(3) = - ([(20 - 20*(7 - 3)/4)*(3 - 3)]/2 + 20*(7 - 3)/4*(3 - 3)) = 0 (кН)
Q2(5) = - ([(20 - 20*(7 - 5)/4)*(5 - 3)]/2 + 20*(7 - 5)/4*(5 - 3)) = -30 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2) = - M1 + ([(U1слева - U1слева *(7 - x)/4)*(x - 3)]/2*(x - 3)*(2/3) + U1слева *(7 - x)/4*(x - 3)*(x - 3)*(1/2))
Значения M на краях участка:
M2(3) = - 30 - ([(20 - 20*(7 - 3)/4)*(3 - 3)]/2*(3 - 3)*(2/3) + 20*(7 - 3)/4*(3 - 3)*(3 - 3)*(1/2)) = -30 (кН*м)
M2(5) = - 30 + ([(20 - 20*(7 - 5)/4)*(5 - 3)]/2*(5 - 3)*(2/3) + 20*(7 - 5)/4*(5 - 3)*(5 - 3)*(1/2)) = -63.33 (кН*м)
Рассмотрим 3-й участок 5 ≤ x3 < 7
Поперечная сила Q:
Q(x3) = - ([(U1слева - U1слева *(7 - x)/4)*(x - 3)]/2 + U1слева *(7 - x)/4*(x - 3)) + P1
Значения Q на краях участка:
Q3(5) = - ([(20 - 20*(7 - 5)/4)*(5 - 3)]/2 + 20*(7 - 5)/4*(5 - 3)) + 40 = 10 (кН)
Q3(7) = - ([(20 - 20*(7 - 7)/4)*(7 - 3)]/2 + 20*(7 - 7)/4*(7 - 3)) + 40 = 0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3) = - M1 + ([(U1слева - U1слева *(7 - x)/4)*(x - 3)]/2*(x - 3)*(2/3) + U1слева *(7 - x)/4*(x - 3)*(x - 3)*(1/2)) + P1*(x3 - 5)
Значения M на краях участка:
M3(5) = - 30 + ([(20 - 20*(7 - 5)/4)*(5 - 3)]/2*(5 - 3)*(2/3) + 20*(7 - 5)/4*(5 - 3)*(5 - 3)*(1/2)) + 40*(5 - 5) = -63.33 (кН*м)
M3(7) = - 30 + ([(20 - 20*(7 - 7)/4)*(7 - 3)]/2*(7 - 3)*(2/3) + 20*(7 - 7)/4*(7 - 3)*(7 - 3)*(1/2)) + 40*(7 - 5) = -56.67 (кН*м)
Рассмотрим 4-й участок 7 ≤ x4 < 9
Поперечная сила Q:
Q(x4) = - (U1слева *4)/2 + P1
Значения Q на краях участка:
Q4(7) = - ([(20 - 20*(7 - 7)/4)*(7 - 3)]/2 + 20*(7 - 7)/4*(7 - 3)) + 40 = 0 (кН)
Q4(9) = - (-20*4)/2 + 40 = 0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x4) = - M1 + (U1слева *4)/2*(x - 7 + (2/3)*4) + P1*(x4 - 5)
Значения M на краях участка:
M4(7) = - 30 + ([(20 - 20*(7 - 7)/4)*(7 - 3)]/2*(7 - 3)*(2/3) + 20*(7 - 7)/4*(7 - 3)*(7 - 3)*(1/2)) + 40*(7 - 5) = -56.67 (кН*м)
M4(9) = - 30 + (-20*4)/2*(9 - 7 + (2/3)*4) + 40*(9 - 5) = -56.67 (кН*м)


Расчет произведен при помощи онлайн-сервиса SOPROMATGURU.RU