Пример №1. Шарнирно-опертая балка

Построение эпюр M,Q,N

Определение опорных реакций

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
∑Fx = 0:    P1*cos(45) - HA = 0
∑MA = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
- P1*sin(45)*2 + q1*3.5*(2 - 3.5/2) - P2*4.5 + M1 + RB*7 = 0
∑MB = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
- P1*sin(45)*9 + q1*3.5*(9 - 3.5/2) - RA*7 + P2*2.5 + M1 = 0
2. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные :
HA = - P1*cos(45) = - 5*0.7071 = -3.54 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B
RB = ( P1*sin(45)*2 - q1*3.5*(2 - 3.5/2) + P2*4.5 - M1) / 7 = ( 5*sin(45)*2 - 10*3.5*(2 - 3.5/2) + 5*4.5 - 10) / 7 = 1.55 (кН)
4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A
RA = ( - P1*sin(45)*9 + q1*3.5*(9 - 3.5/2) + P2*2.5 + M1) / 7 = ( - 5*sin(45)*9 + 10*3.5*(9 - 3.5/2) + 5*2.5 + 10) / 7 = 34.92 (кН)
5. Выполним проверку ∑Fy = 0:    P1*sin(45) - q1*3.5 + RA - P2 + RB = 5*sin(45) - 10*3.5 + 34.92 - 5 + 1.55 = 0

Построение эпюр

Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 1
На данном участке нагрузок нет.
Рассмотрим 2-й участок 1 ≤ x2 < 3
Продольная сила N:
N(x2) = - P1*cos(45)
Значения N на краях участка:
N2(1) = - 5*0.7071 = -3.54
N2(3) = - 5*0.7071 = -3.54
Поперечная сила Q:
Q(x2) = P1 - q1*(x2 - 1)
Значения Q на краях участка:
Q2(1) = 3.54*sin(45) - 10*(1 - 1) = 3.54
Q2(3) = 3.54*sin(45) - 10*(3 - 1) = -16.46

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0.35
Изгибающий момент M:
M(x2) = P1*(x2 - 1)*sin(45) - q1*(x2 - 1)2/2
Значения M на краях участка:
M2(1) = 5*(1 - 1)*sin(45) - 10*(1 - 1)2/2 = 0
M2(3) = 5*(3 - 1)*sin(45) - 10*(3 - 1)2/2 = -12.93

Локальный экстремум в точке x = 0.35:
M2(1.35) = 5*(1.35 - 1)*sin(45) - 10*(1.35 - 1)2/2 = 0.63
Рассмотрим 3-й участок 3 ≤ x3 < 4.5
Продольная сила N:
N(x3) = - P1*cos(45) + HA
Значения N на краях участка:
N3(3) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0
N3(4.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0
Поперечная сила Q:
Q(x3) = P1 - q1*(x3 - 1) + RA
Значения Q на краях участка:
Q3(3) = 3.54*sin(45) - 10*(3 - 1) + 34.92 = 18.45
Q3(4.50) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45
Изгибающий момент M:
M(x3) = P1*(x3 - 1)*sin(45) - q1*(x3 - 1)2/2 + RA*(x3 - 3)
Значения M на краях участка:
M3(3) = 5*(3 - 1)*sin(45) - 10*(3 - 1)2/2 + 34.92*(3 - 3) = -12.93
M3(4.50) = 5*(4.50 - 1)*sin(45) - 10*(4.50 - 1)2/2 + 34.92*(4.50 - 3) = 3.50
Рассмотрим 4-й участок 4.5 ≤ x4 < 7.5
Продольная сила N:
N(x4) = - P1*cos(45) + HA
Значения N на краях участка:
N4(4.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0
N4(7.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0
Поперечная сила Q:
Q(x4) = P1 - q1*(4.5 - 1) + RA
Значения Q на краях участка:
Q4(4.50) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45
Q4(7.50) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45
Изгибающий момент M:
M(x4) = P1*(x4 - 1)*sin(45) - q1*(4.5 - 1)*[(x4 - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + RA*(x4 - 3)
Значения M на краях участка:
M4(4.50) = 5*(4.50 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(0 + 1.75) + 34.92*(4.50 - 3) = 3.50
M4(7.50) = 5*(7.50 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(3 + 1.75) + 34.92*(7.50 - 3) = 13.86
Рассмотрим 5-й участок 7.5 ≤ x5 < 9
Продольная сила N:
N(x5) = - P1*cos(45) + HA + P2
Значения N на краях участка:
N5(7.50) = - 5*0.7071 + 3.54 + 5 = 0
N5(9) = - 5*0.7071 + 3.54 + 5 = 0
Поперечная сила Q:
Q(x5) = P1 - q1*(4.5 - 1) + RA - P2
Значения Q на краях участка:
Q5(7.50) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55
Q5(9) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55
Изгибающий момент M:
M(x5) = P1*(x5 - 1)*sin(45) - q1*(4.5 - 1)*[(x5 - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + RA*(x5 - 3) - P2*(x5 - 7.5)
Значения M на краях участка:
M5(7.50) = 5*(7.50 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(3 + 1.75) + 34.92*(7.50 - 3) - 5*(7.50 - 7.5) = 13.86
M5(9) = 5*(9 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(4.50 + 1.75) + 34.92*(9 - 3) - 5*(9 - 7.5) = 11.55
Рассмотрим 6-й участок 9 ≤ x6 < 10
Продольная сила N:
N(x6) = - P1*cos(45) + HA + P2
Значения N на краях участка:
N6(9) = - 5*0.7071 + 3.54 + 5 = 0
N6(10) = - 5*0.7071 + 3.54 + 5 = 0
Поперечная сила Q:
Q(x6) = P1 - q1*(4.5 - 1) + RA - P2
Значения Q на краях участка:
Q6(9) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55
Q6(10) = 3.54*sin(45) - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55
Изгибающий момент M:
M(x6) = P1*(x6 - 1)*sin(45) - q1*(4.5 - 1)*[(x6 - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + RA*(x6 - 3) - P2*(x6 - 7.5) - M1
Значения M на краях участка:
M6(9) = 5*(9 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(4.50 + 1.75) + 34.92*(9 - 3) - 5*(9 - 7.5) - 10 = 1.55
M6(10) = 5*(10 - 1)*sin(45) - 10*3.5*(5.50 + 1.75) + 34.92*(10 - 3) - 5*(10 - 7.5) - 10 = 0
Расчет произведен при помощи онлайн-сервиса SOPROMATGURU.RU